Question

【題目】設(shè) 為橢圓 上任一點(diǎn)，， 為橢圓的焦點(diǎn)，，離心率為 ．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線 經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，且與橢圓交于 ， 兩點(diǎn)，若直線 ，， 的斜率依次成等比數(shù)列，求直線 的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2） 或 ．

【解析】試題分析：（1）由，，運(yùn)用橢圓的定義可得，由離心率公式可得，再由的關(guān)系可得，從而得到橢圓方程；（2）由直線 經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，可知，，設(shè)點(diǎn) ，，由 消 ，得 ，利用韋達(dá)定理和等比中項(xiàng)的性質(zhì)，化簡(jiǎn)整理可得的值，進(jìn)而得到所求直線方程.

試題解析：（1） 由橢圓的定義可得 ，可得 ，

由 ，可得 ，，

則橢圓方程為 ；

（2） 由直線 經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，可知，，

設(shè)點(diǎn) ，，

由 消 ，得 ，

由直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，可得 ，解得 ，

由韋達(dá)定理得，，，

由題意知，，

即

所以 ，即 ，

即 ，即為 ，

所以直線 的方程為 或 ．