設(shè)函數(shù)f(x)=-
a
2
x2+(a+1)x-lnx(a∈R).
(1)當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
(2)當(dāng)a>0時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)若對(duì)任意a∈(2,3)及任意x1,x2∈[1,2],恒有
a2-1
2
m+ln2>|f(x1)-f(x2)|成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)由f′(x)=1-
1
x
=
x-1
x
.由f′(x)>0⇒x>1; f′(x)<0⇒0<x<1,從而函數(shù)f (x)在區(qū)間(0,1)上遞減,在(1,+∞)上遞增.進(jìn)而x=1時(shí)f (x)有極小值為f (1)=1-ln1=1;
(2)a>0時(shí),f′(x)=-
a(x-\f(1
a
)(x-1),x)
.當(dāng)f′(x)=0時(shí),x=1和x=
1
a
.分別討論①當(dāng)a=1時(shí),②當(dāng)
1
a
>1③當(dāng)
1
a
<1的情況,從而得出答案;
(3)由(2)知當(dāng)a∈(2,3)時(shí),f (x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,所以|f(x1)-f(x2)|max=f (1)-f (2)=
a
2
-1+ln2,則有
a2-1
2
m+ln2>|f(x1)-f(x2)|max,令g(a)=
a-2
a2-1
,則g′(a)=
-(a-2)2+3
(a2-1)2
>0對(duì)a∈(2,3)恒成立,從而求出m的范圍.
解答: 解:(1)由題意得,定義域?yàn)椋?,+∞),
當(dāng)a=0時(shí),f (x)=x-lnx,
∴f′(x)=1-
1
x
=
x-1
x

由f′(x)>0⇒x>1; f′(x)<0⇒0<x<1,
∴函數(shù)f (x)在區(qū)間(0,1)上遞減,在(1,+∞)上遞增.
∴x=1時(shí)f (x)有極小值為f (1)=1-ln1=1.
(2)a>0時(shí),
f′(x)=-ax+a+1-
1
x

=
-ax2+(a+1)x-1
x

=-
a(x-\f(1
a
)(x-1),x)

當(dāng)f′(x)=0時(shí),x=1和x=
1
a

①當(dāng)a=1時(shí),f′(x)=-
(x-1)2
x
≤0恒成立,
此時(shí)f (x)在(0,+∞)上遞減;
②當(dāng)
1
a
>1即0<a<1時(shí),
f′(x)>0⇒1<x<
1
a
;f′(x)<0⇒0<x<1或x>
1
a
;
∴f (x)在(1,
1
a
)上遞增,在(0,1)和(
1
a
,+∞)上遞減;
③當(dāng)
1
a
<1即a>1時(shí),f′(x)>0⇒
1
a
<x<1;f′(x)<0⇒0<x<
1
a
或x>1;
∴f (x)在(
1
a
,1)上遞增,在(0,
1
a
)和(1,+∞)上遞減.
(3)由(2)知當(dāng)a∈(2,3)時(shí),f (x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,
所以|f(x1)-f(x2)|max=f (1)-f (2)=
a
2
-1+ln2,
要使對(duì)任意x1,x2∈[1,2],
恒有
a2-1
2
m+ln2>|f (x1)-f (x2)|成立
則有
a2-1
2
m+ln2>|f(x1)-f(x2)|max,
a2-1
2
m+ln2>
a
2
-1+ln2對(duì)任意a∈(2,3)成立,
亦即m>
a-2
a2-1
對(duì)任意a∈(2,3)成立,
令g(a)=
a-2
a2-1
,
則g′(a)=
-(a-2)2+3
(a2-1)2
>0對(duì)a∈(2,3)恒成立,
所以g(a)在a∈(2,3)上單調(diào)遞增,
∴g(a)<g(3)=
1
8

故m的取值范圍為 m≥
1
8
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的極值問題,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,求參數(shù)的取值范圍,是一道綜合題.
練習(xí)冊系列答案
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已知一組數(shù)據(jù)為0,-1,4,12,6,6,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)之和是( 。
A、10B、11C、13D、14

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已知,
a
=(1,2),
b
=(-2,1),當(dāng)k為何值時(shí),k
a
+
b
a
-3
b
垂直?

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(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{an•bn}的前n項(xiàng)和Tn

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已知變換T1是繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)
π
2
的旋轉(zhuǎn)變換,對(duì)應(yīng)的變換矩陣是M1;變換T2對(duì)應(yīng)的變換矩陣是M2=
11
01

(Ⅰ)求變換T1對(duì)應(yīng)的變換矩陣M1;
(Ⅱ)求函數(shù)y=x2的圖象依次在T1,T2變換的作用下所得曲線的方程.

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(1)該廠從第幾年開始盈利?
(2)若干年后,投資商為開發(fā)新項(xiàng)目,對(duì)該廠有兩種處理方案:①年平均純利潤達(dá)到最大時(shí),以48萬元出售該廠;②純利潤總和達(dá)到最大時(shí),以10萬元出售該廠,問哪種方案更合算?

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已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是以原點(diǎn)O為圓心的單位圓上的兩點(diǎn),∠P1OP2=θ(θ為鈍角).若sin(θ+
π
4
)=
3
5
,則x1x2+y1y2的值為
 

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如圖,已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)過點(diǎn)(1,
2
2
),離心率為
2
2
,左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2.點(diǎn)P為直線l:x+y=2上且不在x軸上的任意一點(diǎn),直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線PF1、PF2的斜線分別為k1、k2.證明:
1
k1
-
3
k2
=2.

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求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù):
①f(x)=x3+log2x;
②f(x)=
cosx
ex

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