Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足3a_n+1+a_n=4（n≥1），且a₁=9．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，并求滿足不等式|S_n-n-6|$＜\frac{1}{125}$的最小正整數(shù)n．

Answer 1

分析 （1）由遞推式得：3（a_n+1-1）=-（a_n-1），從而得到{a_n-1}是以8為首項(xiàng)，公比為-$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出${S}_{n}-n-6=-6（-\frac{1}{3}）^{n}$，由此能求出滿足不等式|S_n-n-6|$＜\frac{1}{125}$的最小正整數(shù)n．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足3a_n+1+a_n=4（n≥1），且a₁=9，
∴由遞推式得：3（a_n+1-1）=-（a_n-1），
∵a₁-1=8≠0，∴a_n-1≠0，
∴$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}-1}=-\frac{1}{3}$，…（3分）
∴{a_n-1}是以8為首項(xiàng)，公比為-$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}=8（-\frac{1}{3}）^{n-1}+1$．…（6分）
（2）S_n-n=（a₁-1）+（a₂-1）+…+（a_n-1）
=$\frac{8[1-（-\frac{1}{3}）^{n}]}{1+\frac{1}{3}}$=6-6×（-$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴${S}_{n}-n-6=-6（-\frac{1}{3}）^{n}$，…（9分）
∴|S_n-n-6|=6×（$\frac{1}{3}$）ⁿ＜$\frac{1}{125}$，
解得：3^n-1＞250，
∵3⁶=243，3⁷=729，
∴滿足條件的最小整數(shù)n=7．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查滿足不等式的最小正整數(shù)n的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意構(gòu)造法、分組求和法的合理運(yùn)用．