Question

17．已知函數(shù)f（x）=|xe^x|，且方程f²（x）+2af（x）+1=0（a∈R）有四個實數(shù)根，則a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，-$\frac{{e}^{2}+1}{2e}$）
• B． （-$\frac{{e}^{2}+1}{e}$，-2）
• C． （-2，0）
• D． （$\frac{{e}^{2}+1}{2e}，+∞$）

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=|xe^x|化成分段函數(shù)，通過求導(dǎo)分析得到函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，在（-∞，-1）上為增函數(shù)，在（-1，0）上為減函數(shù)，求得函數(shù)f（x）在（-∞，0）上，當(dāng)x=-1時有一個最大值$\frac{1}{e}$，所以，要使方程f²（x）+2af（x）+1=0（a∈R）有四個實數(shù)根，f（x）的值一個要在（0，$\frac{1}{e}$）內(nèi)，一個在（$\frac{1}{e}$，+∞）內(nèi)，然后運用二次函數(shù)的圖象及二次方程根的關(guān)系列式求解t的取值范圍．

解答 解：f（x）=|xe^x|=$\left\{\begin{array}{l}{x{e}^{x}，x≥0}\\{-x{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≥0時，f′（x）=e^x+xe^x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)；
當(dāng)x＜0時，f′（x）=-e^x-xe^x=-e^x（x+1），
由f′（x）=0，得x=-1，當(dāng)x∈（-∞，-1）時，f′（x）=-e^x（x+1）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（-1，0）時，f′（x）=-e^x（x+1）＜0，f（x）為減函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）=|xe^x|在（-∞，0）上有一個最大值為f（-1）=-（-1）e^-1=$\frac{1}{e}$，
要使方程f²（x）+2af（x）+1=0（a∈R）有四個實數(shù)根，
令f（x）=m，則方程m²+2am+1=0應(yīng)有兩個不等根，且一個根在（0，$\frac{1}{e}$）內(nèi)，一個根在（ $\frac{1}{e}$，+∞）內(nèi)，
再令g（m）=m²+2am+1，因為g（0）=1＞0，
則只需g（ $\frac{1}{e}$）＜0，即（$\frac{1}{e}$）²+$\frac{1}{e}$•2a+1＜0，
解得：a＜-$\frac{{e}^{2}+1}{2e}$．
所以，使得函數(shù)f（x）=|xe^x|，方程f²（x）+2af（x）+1=0（a∈R）有四個實數(shù)根的t的取值范圍是（-∞，-$\frac{{e}^{2}+1}{2e}$）．
故選：A．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查分段函數(shù)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．