Question

2．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是BD中點，點P在線段B₁D₁上，直線OP與平面A₁BD所成的角為α，則sinα的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$]
• B． [$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]
• C． [$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$]
• D． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 設$\frac{{B}_{1}{P}_{1}}{{B}_{1}{D}_{1}}$=λ，以B₁為原點建立坐標系，則$\overrightarrow{A{C}_{1}}$為平面A₁BD的法向量，求出$\overrightarrow{OP}$和$\overrightarrow{A{C}_{1}}$的坐標，得出sinα=|cos＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{A{C}_{1}}$＞|關于λ的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質得出sinα的取值范圍．

解答 解：設正方體邊長為1，$\frac{{B}_{1}{P}_{1}}{{B}_{1}{D}_{1}}$=λ（0≤λ≤1）．
以B₁為原點，分別以B₁A₁，B₁C₁，B₁B為坐標軸建立空間直角坐標系，
則O（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），P（λ，λ，0），∴$\overrightarrow{OP}$=（$λ-\frac{1}{2}$，$λ-\frac{1}{2}$，-1），
∵AB₁⊥A₁B，B₁C₁⊥平面AB₁，可得AC₁⊥A₁B，
同理可得AC₁⊥A₁D，
可得AC₁⊥平面A₁BD，
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-1，1，-1）是平面A₁BD的一個法向量．
∴sinα=cos＜$\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{A{C}_{1}}$＞=$\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{2（λ-\frac{1}{2}）^{2}+1}}$．
∴當λ=$\frac{1}{2}$時sinα取得最大值$\frac{\sqrt{3}}{3}$，當λ=0或1時，sinα取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查了空間向量與線面角的計算，屬于中檔題．