Question

5．在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=$\frac{1}{2}$AB=2，S為AB上一點(diǎn)，且AB=4AS，M，N分別為PB，BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到平面MSN的距離為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 確定△SMN是等邊三角形，利用等體積建立方程，即可求出點(diǎn)C到平面MSN的距離．

解答 解：由題意，PB=BC=2$\sqrt{5}$，PC=2$\sqrt{2}$，BS=3，cos∠ABC=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴MS=NS=$\sqrt{5+9-2•\sqrt{5}•3•\frac{2}{\sqrt{5}}}$=$\sqrt{2}$，MN=$\sqrt{2}$，
∴△SMN是等邊三角形，
∴S_△SMN=$\frac{\sqrt{3}}{4}•（\sqrt{2}）^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵△CSN中，CS=$\sqrt{5}$=CN，NS=$\sqrt{2}$，∴S_△CSN=$\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{5-\frac{1}{2}}$=$\frac{3}{2}$，
設(shè)點(diǎn)C到平面MSN的距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×1=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}h$，
∴h=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)C到平面MSN的距離，考查三棱錐體積的計(jì)算，正確求三棱錐的體積是關(guān)鍵．