Question

7．已知命題p：x₁，x₂是方程x²-mx-1=0的兩個實根，且不等式a²+4a-3≤|x₁-x₂|對任意m∈R恒成立；命題q：不等式x²+2x+a＜0有解，若命題p∨q為真，p∧q為假，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：x₁，x₂是方程x²-mx-1=0的兩個實根，可得△≥0．利用根與系數(shù)的關(guān)系|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+4}$．即可得出最小值．不等式a²+4a-3≤|x₁-x₂|對任意m∈R恒成立，解得a范圍；命題q：不等式x²+2x+a＜0有解，可得△＞0，解得a范圍．由于命題p∨q為真，p∧q為假，可得p與q必然一真一假，即可得出．

解答 解：命題p：x₁，x₂是方程x²-mx-1=0的兩個實根，∴△=m²+4≥0．x₁+x₂=m，x₁x₂=-1．
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+4}$．
∵不等式a²+4a-3≤|x₁-x₂|對任意m∈R恒成立，∴a²+4a-3≤2，解得-5≤a≤1；
命題q：不等式x²+2x+a＜0有解，∴△=4-4a＞0，解得a＜1．
∵命題p∨q為真，p∧q為假，
∴p與q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-5≤a≤1}\\{a≥1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＜-5或a＞1}\\{a＜1}\end{array}\right.$，
解得a=1，或a＜-5．
∴a的取值范圍是a=1或a＜-5．

點評 本題考查了一元二次方程及其一元二次不等式的解法與判別式的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．