Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=$\frac{1}{2}$n（a_n+1），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過對a_n+1=2a_n+1變形可知a_n+1+1=2（a_n+1），進(jìn)而可知數(shù)列{a_n+1}是首項、公比均為2的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知b_n=n•2^n-1，進(jìn)而利用錯位相減法計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁=1，
∴數(shù)列{a_n+1}是首項、公比均為2的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=-1+2ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{1}{2}$n（a_n+1）=$\frac{1}{2}$n•2ⁿ=n•2^n-1，
∴T_n=1•2⁰+2•2+…+n•2^n-1，
2T_n=1•2+2•2²…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
錯位相減得：-T_n=1+2+2²…+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ
=-1-（n-1）•2ⁿ，
于是T_n=1+（n-1）•2ⁿ．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，考查錯位相減法，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．