【題目】
已知點(diǎn)A(2,0),B(2,0),動點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為.記M的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程,并說明C是什么曲線;
(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長交C于點(diǎn)G.
(i)證明:是直角三角形;
(ii)求面積的最大值.
(二)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.
【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析
【解析】
(1)分別求出直線AM與BM的斜率,由已知直線AM與BM的斜率之積為,可以得到等式,化簡可以求出曲線C的方程,注意直線AM與BM有斜率的條件;
(2)(i)設(shè)出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,求出P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo),求出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)關(guān)系求出的坐標(biāo),再求出直線的斜率,計(jì)算的值,就可以證明出是直角三角形;
(ii)由(i)可知三點(diǎn)坐標(biāo),是直角三角形,求出的長,利用面積公式求出的面積,利用導(dǎo)數(shù)求出面積的最大值.
(1)直線的斜率為,直線的斜率為,由題意可知:,所以曲線C是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心,焦點(diǎn)在軸上,不包括左右兩頂點(diǎn)的橢圓,其方程為;
(2)(i)設(shè)直線的方程為,由題意可知,直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,即或,點(diǎn)P在第一象限,所以,因此點(diǎn)的坐標(biāo)為
直線的斜率為,可得直線方程:,與橢圓方程聯(lián)立,,消去得,(*),設(shè)點(diǎn),顯然點(diǎn)的橫坐標(biāo)和是方程(*)的解
所以有,代入直線方程中,得
,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,
直線的斜率為; ,
因?yàn)?/span>所以,因此是直角三角形;
(ii)由(i)可知:,
的坐標(biāo)為,
,
,
,因?yàn)?/span>,所以當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減,因此當(dāng)時,函數(shù)有最大值,最大值為.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓的方程為,點(diǎn),點(diǎn)M為圓上的任意一點(diǎn),線段的垂直平分線與線段相交于點(diǎn)N.
(1)求點(diǎn)N的軌跡C的方程.
(2)已知點(diǎn),過點(diǎn)A且斜率為k的直線交軌跡C于兩點(diǎn),以為鄰邊作平行四邊形,是否存在常數(shù)k,使得點(diǎn)B在軌跡C上,若存在,求k的值;若不存在,說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】首項(xiàng)為O的無窮數(shù)列同時滿足下面兩個條件:
①;②
(1)請直接寫出的所有可能值;
(2)記,若對任意成立,求的通項(xiàng)公式;
(3)對于給定的正整數(shù),求的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,動點(diǎn)分別與兩個定點(diǎn),的連線的斜率之積為.
(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與軌跡交于,兩點(diǎn),判斷直線與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體,但南北朝時期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體,它的所有頂點(diǎn)都在同一個正方體的表面上,且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有________個面,其棱長為_________.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體,但南北朝時期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體,它的所有頂點(diǎn)都在同一個正方體的表面上,且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有________個面,其棱長為_________.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時,試判斷零點(diǎn)的個數(shù);
(Ⅲ)當(dāng)時,若對,都有()成立,求的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為.已知橢圓的短軸長為4,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點(diǎn),點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn),點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上.若(為原點(diǎn)),且,求直線的斜率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com