【題目】

已知點A(2,0)B(2,0),動點M(x,y)滿足直線AMBM的斜率之積為.M的軌跡為曲線C.

1)求C的方程,并說明C是什么曲線;

2)過坐標原點的直線交CP,Q兩點,點P在第一象限,PEx軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長交C于點G.

i)證明:是直角三角形;

ii)求面積的最大值.

(二)選考題:共10請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計分

【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析

【解析】

1)分別求出直線AMBM的斜率,由已知直線AMBM的斜率之積為,可以得到等式,化簡可以求出曲線C的方程,注意直線AMBM有斜率的條件;

2)(i)設(shè)出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,求出P,Q兩點的坐標,進而求出點的坐標,求出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)關(guān)系求出的坐標,再求出直線的斜率,計算的值,就可以證明出是直角三角形;

ii)由(i)可知三點坐標,是直角三角形,求出的長,利用面積公式求出的面積,利用導(dǎo)數(shù)求出面積的最大值.

1)直線的斜率為,直線的斜率為,由題意可知:,所以曲線C是以坐標原點為中心,焦點在軸上,不包括左右兩頂點的橢圓,其方程為;

2)(i)設(shè)直線的方程為,由題意可知,直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,,P在第一象限,所以,因此點的坐標為

直線的斜率為,可得直線方程:,與橢圓方程聯(lián)立,,消去得,*),設(shè)點,顯然點的橫坐標是方程(*)的解

所以有,代入直線方程中,得

,所以點的坐標為,

直線的斜率為; ,

因為所以,因此是直角三角形;

ii)由(i)可知:,

的坐標為

,

,

,因為,所以當時,,函數(shù)單調(diào)遞增,當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,因此當時,函數(shù)有最大值,最大值為.

練習(xí)冊系列答案
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;②

(1)請直接寫出的所有可能值;

(2)記,若對任意成立,求的通項公式;

(3)對于給定的正整數(shù),求的最大值.

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(1)求動點的軌跡的方程;

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【題目】中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體,但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是半正多面體(圖1.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體,它的所有頂點都在同一個正方體的表面上,且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有________個面,其棱長為_________

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(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)點在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點,點為直線軸的交點,點軸的負半軸上.若為原點),且,求直線的斜率.

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1)求數(shù)列的通項公式;

(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.

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