Question

20．在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推廣線下分店，計劃在S市的A區(qū)開設分店，為了確定在該區(qū)開設分店的個數(shù)，該公司對該市已開設分店的其他區(qū)的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格．記x表示在各區(qū)開設分店的個數(shù)，y表示這x個分店的年收入之和．

x（個）	2	3	4	5	6
y（百萬元）	2.5	3	4	4.5	6

（1）該公司已經(jīng)過初步判斷，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，求y關于x的線性回歸方程$y=\hat bx+a$；
（2）假設該公司在A區(qū)獲得的總年利潤z（單位：百萬元）與x，y之間的關系為z=y-0.05x²-1.4，請結合（1）中的線性回歸方程，估算該公司應在A區(qū)開設多少個分店時，才能使A區(qū)平均每個分店的年利潤最大？
（參考公式：$y=\hat bx+a$，其中$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline{xy}}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}，a=\overline y-\hat b\overline x$）

Answer 1

分析 （1）結合所給數(shù)據(jù)首先求得樣本中心點，然后結合回歸方程的計算公式求得 $\widehat，\hat{a}$，據(jù)此即可求得回歸方程；
（2）結合（1）中的結果求得利潤函數(shù)，然后結合函數(shù)的解析式和對勾函數(shù)的性質即可求得所需開設分店的個數(shù)．

解答 解：（1）由表中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得：$\overline x=4，\overline y=4$，
${\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-\overline x}）}^2}=10，\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}=8.5$，
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）}（{{y_i}-\overline y}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}=\frac{8.5}{10}=0.85$
∴$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=4-4×0.85=0.6$，
∴y=0.85x+0.6．
（2）由題意，可知總收入的預報值$\hat z$與x之間的關系為：$\hat z=-0.05{x^2}+0.85x-0.8$，
設該區(qū)每個分店的平均利潤為t，則$t=\frac{z}{x}$，
故t的預報值$\hat t$與x之間的關系為$\hat t=-0.05x-\frac{0.8}{x}+0.85=-0.01（{5x+\frac{80}{x}}）+0.85$，
則當x=4時，$\hat t$取到最大值，
故該公司應開設4個分店時，在該區(qū)的每個分店的平均利潤最大．

點評 本題考查回歸方程的求解，函數(shù)的實際應用等，重點考查學生對基礎概念的理解和計算能力，屬于基礎題．