Question

14．以拋物線C：y²=2px的焦點(diǎn)F為圓心的圓，交C的準(zhǔn)線l于P，Q兩點(diǎn)，與C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M，且Q，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線．
（1）求直線QM的斜率；
（2）若△MPQ的面積為8$\sqrt{3}$，求圓F的方程．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，由Q，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線，利用圓的性質(zhì)、拋物線的定義可得：∠MPQ=90°，|MP|=$\frac{1}{2}|QM|$，可得∠MFx=60°，即可得出．
（2）由△MPQ的面積為8$\sqrt{3}$，可得$\frac{1}{2}|MP|•\sqrt{3}|MP|$=$8\sqrt{3}$，解得|MP|=4，利用p+$\frac{1}{2}|MF|$=4，即可得出p．

解答 解：（1）如圖所示，
∵Q，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線，
∴∠MPQ=90°，∴|MF|=|MP|，
∴|MP|=$\frac{1}{2}|QM|$，
∴∠PMQ=60°，
∴∠MFx=60°，
∴${k}_{QM}=tan6{0}^{°}$=$\sqrt{3}$．
（2）∵△MPQ的面積為8$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}|MP|•\sqrt{3}|MP|$=$8\sqrt{3}$，
解得|MP|=4，
∴p+$\frac{1}{2}|MF|$=4，
∴p=2．
∴F（1，0），R=|MF|=4，
∴圓F的方程為（x-1）²+y²=16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義及其性質(zhì)、圓的性質(zhì)、斜率計(jì)算公式、三角形的面積計(jì)算公式、含30°的直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．