Question

7．如圖，拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F（1，0）
（1）寫出拋物線C的方程
（2）設(shè)過點（3，0）的直線l交拋物線C于M，N兩點，試求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）直接由焦點坐標(biāo)求p，則拋物線的方程可求；
（2）分直線的斜率存在和不存在求出直線方程，當(dāng)斜率不存在時求出|MN|的值，當(dāng)斜率存在時，設(shè)出直線方程，利用弦長公式求得弦長，由配方法求出弦長范圍得答案．

解答 解：（1）拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F（1，0），即$\frac{p}{2}=1$，∴p=2，
則拋物線C的方程為y²=4x；
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線方程為x=3，代入y²=4x，得y=$±2\sqrt{3}$，
∴|MN|=4$\sqrt{3}$；
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)過點（3，0）的直線l的方程為y=k（x-3），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-3）}\end{array}\right.$，則k²x²-（6k²+4）x+9k²=0．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{6{k}^{2}+4}{{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=9$，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（\frac{6{k}^{2}+4}{{k}^{2}}）^{2}-36}$
=$4\sqrt{\frac{1}{{k}^{4}}+\frac{4}{{k}^{2}}+3}$=$4\sqrt{（\frac{1}{{k}^{2}}+2）^{2}-1}$$＞4\sqrt{3}$．
∴|MN|的最小值為$4\sqrt{3}$．

點評 本題考查了拋物線的方程，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，訓(xùn)練了弦長公式的應(yīng)用，是中檔題．