Question

19．已知⊙C：（x-2）²+（y-2）²=1，直線l：4x+3y+8=0，已知P（x₀，y₀）是直線l上的動點，過P作⊙C的兩條切線，切點為A，B．
（1）求AB所在直線方程；
（2）求四邊形PACB面積的最小值；
（3）求△CAB面積的最大值．．

Answer 1

分析 （1）設出切點A，B，求出切線的斜率，由點斜式方程即可得到切線方程，再代入P的坐標，即可得到切點弦AB的方程；
（2）運用切線的性質和四邊形的面積求法，可得四邊形PACB面積S=|PA|，再由勾股定理和C到直線的距離最小，計算即可得到；
（3）求出C到直線AB的距離d，運用弦長公式可得|AB|，再由P（x₀，y₀）在直線4x+3y+8=0上，得到d的范圍，結合二次函數的最值，即可計算得到三角形CAB的面積的最大值．

解答 解：（1）設切點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
對（x-2）²+（y-2）²=1兩邊取x的導數，可得
2（x-2）+2（y-2）y′=0，即有y′=$\frac{x-2}{2-y}$，
對A，有y-y₁=$\frac{{x}_{1}-2}{2-{y}_{1}}$（x-x₁），
又（x₁-2）²+（y₁-2）²=1，
化簡整理可得直線PA：（x-2）（x₁-2）+（y-2）（y₁-2）=1，
同理可得直線PB：（x-2）（x₂-2）+（y-2）（y₂-2）=1，
P（x₀，y₀）滿足PA，PB的方程，可得（x₀-2）（x₁-2）+（y₀-2）（y₁-2）=1，
（x₀-2）（x₂-2）+（y₀-2）（y₂-2）=1，
即有直線AB的方程為得（x₀-2）（x-2）+（y₀-2）（y-2）=1，
即為（x₀-2）x+（y₀-2）y-2x₀-2y₀+7=0；
（2）由切線的性質可得AC⊥PA，BC⊥PB，
四邊形PACB面積S=2×$\frac{1}{2}$|PA|r=|PA|，
由于|PA|=$\sqrt{|PC{|}^{2}-1}$，要求|PA|的最小，只要求|PC|的最小值．
當PC⊥l時，|PC|最小，
且為$\frac{|4×2+3×2+8|}{\sqrt{16+9}}$=$\frac{22}{5}$，此時|PA|=$\frac{3\sqrt{51}}{5}$．
四邊形PACB面積的最小值為$\frac{3\sqrt{51}}{5}$；
（3）C到直線AB的距離為d=$\frac{|2（{x}_{0}-2）+2（{y}_{0}-2）-2{x}_{0}-2{y}_{0}+7|}{\sqrt{（{x}_{0}-2）^{2}+（{y}_{0}-2）^{2}}}$
=$\frac{1}{\sqrt{（{x}_{0}-2）^{2}+（{y}_{0}-2）^{2}}}$，
|AB|=2$\sqrt{1-2ugaoug^{2}}$，
即有S_△CAB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=d$\sqrt{1-k0myou0^{2}}$，
由P（x₀，y₀）在直線4x+3y+8=0上，
則有$\frac{1}6oeewqe$≥$\frac{22}{5}$（C到直線l的距離），
則0＜d≤$\frac{5}{22}$，
由d$\sqrt{1-2k2o0sa^{2}}$=$\sqrt{moai0sa^{2}（1-o2aqy2q^{2}）}$=$\sqrt{-（cku0uoi^{2}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$
則有d=$\frac{5}{22}$時，△CAB面積取得最大值，且為$\frac{15\sqrt{51}}{484}$．

點評 本題考查直線和圓的位置關系，主要考查圓的切點弦方程的求法和四邊形面積的最值及三角形面積的最值，注意運用切線的性質和勾股定理以及圓的弦長公式，屬于中檔題和易錯題．