Question

3．用半徑為R的圓鐵皮剪出一個(gè)圓心角為α的扇形，制成一個(gè)圓錐形容器，扇形的圓心角α多大時(shí)，容器的容積最大？

Answer 1

分析 設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，求出r²+h²=R²，表示出體積表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，得到結(jié)果．

解答 解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，那么r²+h²=R²，
因此，V=$\frac{1}{3}$πr²h
=$\frac{1}{3}$π（R²-h²）h=$\frac{1}{3}$πR²h-$\frac{1}{3}$πh³（0＜h＜R）．…（3分）
V′=$\frac{1}{3}$πR²-πh²．
令V'=0，即 $\frac{1}{3}$πR²-πh²=0，得 h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R．…（5分）
當(dāng) 0＜h＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$R時(shí)，V'＞0．
當(dāng) $\frac{\sqrt{3}}{3}$R＜h＜R時(shí)，V'＜0．
所以，h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R時(shí)，V取得極大值，并且這個(gè)極大值是最大值．…（8分）
把 h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R代入r²+h²=R²，得 r=$\frac{\sqrt{6}}{3}$R．
由Rα=2πr，得 α=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$π
答：圓心角α為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$π弧度時(shí)，圓錐形容器容積最大．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐與扇形展開(kāi)圖的關(guān)系，體積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立起體積的函數(shù)模型，理解函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系是解本題的重點(diǎn)．