Question

19．（1）求函數(shù)$y=1-2sin（x+\frac{π}{6}）$的最大值和最小值及相應(yīng)的x的值；
（2）已知函數(shù)$y=acos（2x+\frac{π}{3}）+3$，$x∈[0，\frac{π}{2}]$的最大值為4，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）分別令sin（x+$\frac{π}{6}$）=1和-1，y取得最小值和最大值，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)解出對應(yīng)的x的值；
（2）根據(jù)x的范圍得出cos（2x+$\frac{π}{3}$）的范圍，討論a的符號得出y的最大值，解方程求出a的值．

解答 解：（1）令$sin（x+\frac{π}{6}）=-1$，即$x+\frac{π}{6}=-\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，解得$x=-\frac{2π}{3}+2kπ，k∈Z$．
令$sin（x+\frac{π}{6}）=1$，即$x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$．解得$x=\frac{π}{3}+2kπ，k∈Z$，
∴當(dāng)x=-$\frac{2π}{3}$+2kπ時，y取得最大值1+2=3，
當(dāng)x=$\frac{π}{3}+2kπ$時，y取得最小值1-2=-1．
（2）因?yàn)?x∈[0，\frac{π}{2}]$，所以$2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$，
所以$-1≤cos（2x+\frac{π}{3}）≤\frac{1}{2}$．
當(dāng)a＞0，$cos（2x+\frac{π}{3}）=\frac{1}{2}$時，y取得最大值$\frac{1}{2}a+3$．
所以$\frac{1}{2}a+3=4$，所以a=2．
當(dāng)a＜0，$cos（2x+\frac{π}{3}）=-1$時，y取得最大值-a+3．
所以-a+3=4，所以a=-1．
綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為2或-1．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)與最值，屬于中檔題．