Question

10．已知點(diǎn)A（-2，$\sqrt{3}$）為橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)₂為其右焦點(diǎn)，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求|AM|+|MF₂|的最大值；
（2）求|AM|+2|MF₂|的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得橢圓的a，b，c，以及焦點(diǎn)坐標(biāo)，由橢圓的第一定義可得|MF₁|+|MF₂|=2a=8，|AM|+|MF₂|=8+|MA|-|MF₁|，由A，B，F(xiàn)₁共線即可得到最大值；
（2）求得橢圓的離心率，運(yùn)用橢圓的第二定義，可得|AM|+2|MF₂|=|MA|+d，過(guò)A作右準(zhǔn)線的垂線，即可得到最小值．

解答 解：（1）橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的a=4，b=2$\sqrt{3}$，c=2，
焦點(diǎn)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
由橢圓的第一定義可得|MF₁|+|MF₂|=2a=8，
|AM|+|MF₂|=8+|MA|-|MF₁|，
連接AF₁，延長(zhǎng)交橢圓于B，即有|BA|-|BF₁|=|AF₁|=$\sqrt{3}$，
此時(shí)取得最大值，且為8+$\sqrt{3}$；
（2）橢圓的右準(zhǔn)線為x=8，
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，由橢圓的第二定義可得e=$\frac{|M{F}_{2}|}je2lqkr$（d為M到右準(zhǔn)線的距離），
即有|MF₂|=ed=$\frac{1}{2}$d，
|AM|+2|MF₂|=|MA|+d，
過(guò)A作右準(zhǔn)線的垂線，交點(diǎn)為P，由A，M，P共線，
可得|MP|為|AM|+2|MF₂|的最小值，
且為8+2=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用橢圓的兩個(gè)定義，結(jié)合三點(diǎn)共線的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．