Question

15．如圖，M為橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)，F(xiàn)₁是它的下焦點(diǎn)，F(xiàn)₁也是拋物線x²=-4y的焦點(diǎn)，直線MF₁與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，滿足$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{{F}_{1}N}$
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)（A、B不是上下頂點(diǎn)），且滿足AA₂⊥BA₂（A₂為上頂點(diǎn)），求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由題意可得M（-b，0），拋物線x²=-4y的焦點(diǎn)為（0，-1），即有F₁（0，-1），設(shè)N（m，n），再也向量共線的坐標(biāo)表示，運(yùn)用代入法，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，化簡(jiǎn)整理，可得m的值，再由直線方程，可得定點(diǎn)．

解答 解：（1）由題意可得M（-b，0），拋物線x²=-4y的焦點(diǎn)為（0，-1），
即有F₁（0，-1），設(shè)N（m，n），
由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{{F}_{1}N}$，可得b=$\frac{5}{3}$m，-1=$\frac{5}{3}$（n+1），
即為m=$\frac{3}{5}$b，n=-$\frac{8}{5}$，代入橢圓方程可得，
$\frac{64}{25{a}^{2}}$+$\frac{9}{25}$=1，解得a²=4，
又c=1，可得b²=a²-c²=3，
則橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1；
（2）證明：由題意可得A₂（0，2），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直線y=kx+m和橢圓方程聯(lián)立，可得
（4+3k²）x²+6kmx+3m²-12=0，
則x₁+x₂=-$\frac{6km}{4+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-12}{4+3{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m，
由AA₂⊥BA₂，可得$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}}$=-1，
即為x₁x₂+（y₁-2）（y₂-2）=0，
即有（1+k²）x₁x₂+m²+（km-2k）（x₁+x₂）+4-4m=0，
即（1+k²）（3m²-12）+（m-2）²（4+3k²）+k（m-2）（-6km）=0，
化簡(jiǎn)可得m=2（舍去）或m=$\frac{2}{7}$，
則直線方程為y=kx+$\frac{2}{7}$，則直線恒過(guò)定點(diǎn)（0，$\frac{2}{7}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)和向量共線的坐標(biāo)表示，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，注意運(yùn)用直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和兩直線垂直的條件，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．