Question

4．已知正三棱錐P-ABC中，E，F(xiàn)分別是AC，PC的中點(diǎn)，若EF⊥BF，AB=2，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為（　　）
①EF⊥PC
②PA與BE所成角的正切值為$\sqrt{5}$
③正三棱錐P-ABC的外接球表面積為6π
④正三棱錐P-ABC的內(nèi)切球表面積為$\frac{8π}{9}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 證明PA、PB、PC互相垂直，利用正方體的外接球、內(nèi)切球，即可得出結(jié)論．

解答 解：對(duì)于①，∵E、F分別是AC，PC的中點(diǎn)，∴EF∥PA，
∵P-ABC是正三棱錐，
∴PA⊥BC（對(duì)棱垂直），
∴EF⊥BC，又EF⊥BF，而B(niǎo)F∩BC=B，
∴EF⊥平面PBC，∴EF⊥PC，即①正確；
對(duì)于②，PA⊥平面PBC，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=90°，
∵BF=$\sqrt{5}$，∴PA與BE所成角的正切值為$\frac{\sqrt{5}}{1}$=$\sqrt{5}$，即②正確
對(duì)于③，以PA、PB、PC為從同一點(diǎn)P出發(fā)的正方體三條棱，將此三棱錐補(bǔ)成正方體，則它們有相同的外接球，
正方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑，
又AB=2，∴PA=$\sqrt{2}$，
∴2R=$\sqrt{3}$PA=$\sqrt{6}$，
∴R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴三棱錐P-ABC的外接球的表面積為：4πR²=6π，即③正確．
對(duì)于④，設(shè)正三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的半徑為r，則由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{1}{3}$×（3×$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$）×r，
∴r=$\frac{\sqrt{2}}{3+\sqrt{3}}$，∴正三棱錐P-ABC的內(nèi)切球表面積不為$\frac{8π}{9}$，故④不正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的外接球、內(nèi)切球的表面積的求法，判斷幾何體與球的關(guān)系，求出球的半徑是解題的關(guān)鍵．