Question

14．已知0＜a≤$\frac{π}{2}$，設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{{{2016}^{x+1}}+2014}}{{{{2016}^x}+1}}$+sinx（x∈[-a，a]）的最大值為P，最小值為Q，則P+Q的值為4030．

Answer 1

分析 給出一個(gè)具體函數(shù)想研究最值，可以考慮函數(shù)的單調(diào)性，本題需要對(duì)分式型的式子進(jìn)行變形．

解答 f（x）=$\frac{2016（201{6}^{x}+1）-2}{201{6}^{x}+1}+sinx$=2016+sinx+$\frac{-2}{201{6}^{x}+1}$，
∵0$＜a≤\frac{π}{2}$，f（x）在[-a，a]上單調(diào)遞增，
∴P+Q=f（-a）+f（a）=4032-sina-$\frac{2}{201{6}^{-a}+1}$+sina-$\frac{2}{201{6}^{a}+1}$=4032-$\frac{2×201{6}^{a}}{1+201{6}^{a}}$-$\frac{2}{201{6}^{a}+1}$=4030，
故答案為：4030

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值．對(duì)于函數(shù)的變形能力及具體函數(shù)的單調(diào)性的判定有很高的要求