Question

14．已知0＜a≤$\frac{π}{2}$，設函數f（x）=$\frac{{{{2016}^{x+1}}+2014}}{{{{2016}^x}+1}}$+sinx（x∈[-a，a]）的最大值為P，最小值為Q，則P+Q的值為4030．

Answer 1

分析 給出一個具體函數想研究最值，可以考慮函數的單調性，本題需要對分式型的式子進行變形．

解答 f（x）=$\frac{2016（201{6}^{x}+1）-2}{201{6}^{x}+1}+sinx$=2016+sinx+$\frac{-2}{201{6}^{x}+1}$，
∵0$＜a≤\frac{π}{2}$，f（x）在[-a，a]上單調遞增，
∴P+Q=f（-a）+f（a）=4032-sina-$\frac{2}{201{6}^{-a}+1}$+sina-$\frac{2}{201{6}^{a}+1}$=4032-$\frac{2×201{6}^{a}}{1+201{6}^{a}}$-$\frac{2}{201{6}^{a}+1}$=4030，
故答案為：4030

點評 本題考查了函數的單調性與最值．對于函數的變形能力及具體函數的單調性的判定有很高的要求