Question

2．設(shè)ω是虛數(shù)，z=ω+$\frac{1}{ω}$是實(shí)數(shù)，且|z|≤1．
（Ⅰ）求ω的實(shí)部的取值范圍；
（Ⅱ）試判斷$\frac{1-ω}{1+ω}$是否為純虛數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)ω=a+bi（a，b∈R，b≠0），把ω的值代入z，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，又已知z為實(shí)數(shù)，則虛部等于0，求出z=2a，又|z|≤1，即可求出ω的實(shí)部的取值范圍；
（Ⅱ）把ω的值代入$\frac{1-ω}{1+ω}$，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，由b≠0，$|a|≤\frac{1}{2}$，即可得到$\frac{1-ω}{1+ω}$的虛部不等于0，則答案可求．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)ω=a+bi（a，b∈R，b≠0），
則$z=a+bi+\frac{1}{a+bi}$=$a+\frac{a}{{a}^{2}+^{2}}+（b-\frac{{a}^{2}+^{2}}）i$，
∵z為實(shí)數(shù)，∴$b=\frac{{{a^2}+{b^2}}}（b≠0）$，∴a²+b²=1．
∴z=2a，又|z|≤1，∴$-\frac{1}{2}≤a≤\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）$\frac{1-ω}{1+ω}$=$\frac{1-a-bi}{1+a+bi}=\frac{（1-{a}^{2}-^{2}）-2bi}{2（1+a）}=-\frac{1+a}i$，
∵b≠0，$|a|≤\frac{1}{2}$．
∴$-\frac{1+a}≠0$．
∴$\frac{1-ω}{1+ω}$為純虛數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．