Question

14．等差數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，a₁=3，前n項和為S_n，{b_n}為等比數(shù)列，b₁=1，且b₂S₂=24，b₃S₃=135．
（1）求a_n與b_n；
（2）求$\frac{1}{S_1}$+$\frac{1}{S_2}$+…+$\frac{1}{S_n}$．

Answer 1

分析 （1）由已知條件，利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、前n項和列出方程組，求出等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比，由此能求出a_n與b_n．
（2）由（1）能推導出S_n=n（n+2），由此利用裂項求和法能求出{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵等差數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，a₁=3，b₁=1，
∴a_n=3+（n-1）d，b_n=q^n-1，d＞0，
∵b₂S₂=24，b₃S₃=135，
$\left\{\begin{array}{l}{q•（6+d）=24}\\{{q}^{2}•（9+3d）=135}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=3}\end{array}\right.$，
a_n=2n+1，b_n=3^n-1，
（2）由（1）可知：S_n=$\frac{（3+2n+1）n}{2}$=（n+2）n，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
$\frac{1}{S_1}$+$\frac{1}{S_2}$+…+$\frac{1}{S_n}$=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）]
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$，
∴$\frac{1}{S_1}$+$\frac{1}{S_2}$+…+$\frac{1}{S_n}$=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

點評 本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式及采用“裂項法”前n項和公式的求法，解題時要注意“裂項法”求和的合理運用，屬于中檔題．