Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC，點D為BC中點．
（1）求二面角A-PD-B的余弦值；
（2）在直線AB上是否存在點M，使得PM與平面PAD；
所成角的正弦值為

1

6

，若存在，求出點M的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知△PCA全等△PCB，PC⊥平面ACB，PC，CA，CB兩兩垂直，分別以CB，CA，CP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，由此能求出二面角A-PD-B的平面角的余弦值．
（2）存在，M是AB的中點或A是MB的中點，設

AM

=λ

AB

，由此能求出M是AB的中點或A是MB的中點．

解答： 解：（1）∵AC=BC，PA=PB，PC=PC，
∴△PCA全等△PCB，∴PC⊥平面ACB，
∴PC，CA，CB兩兩垂直，…（2分）
故以C為坐標原點，
分別以CB，CA，CP所在直線為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系，
則C（0，0，0），A（0，2，0），
D（1，0，0），
P（0，0，2），

AD

=（1，-2，0），

PD

=（1，0，-2），
設平面PAD的一個法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • AD =x-2y=0 n • PD =x-2z=0

，取x=2，得

n

=（2，1，1），
平面PDB的一個法向量為

CA

=（0，2，0），
∴cos＜

n

，

CA

＞=

6

6

，
設二面角A-PD-B的平面角為θ，
∵θ是鈍角，∴cosθ=-

6

6

．…（6分）
（2）存在，M是AB的中點或A是MB的中點
設

AM

=λ

AB

，則M（2λ，2-2λ，0），
∴|sin＜

PM

，

n

＞|=

|2λ|

(2λ)2+(2-2λ)2+4 • 6

=

1

6

，
解得λ=

1

2

或λ=-1，
∴M是AB的中點或A是MB的中點．…（12分）

點評：本題考查二面角的余弦值的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．