Question

19．已知$α，β∈（0，\frac{π}{2}），sin（α+β）=\frac{{5\sqrt{3}}}{14}，sinα=\frac{{4\sqrt{3}}}{7}$，則sinβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由條件求得cosα=$\frac{1}{7}$，α+β為鈍角，cos（α+β）=-$\frac{11}{14}$．再根據(jù)sinβ=sin[（α+β）-α]利用兩角差的正弦公式計(jì)算求得結(jié)果．

解答 解：∵已知$α，β∈（0，\frac{π}{2}），sin（α+β）=\frac{{5\sqrt{3}}}{14}，sinα=\frac{{4\sqrt{3}}}{7}$＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴α∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），∴cosα=$\frac{1}{7}$．
再根據(jù)sin（α+β）＜sinα，故α+β為鈍角，故cos（α+β）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+β）}$=-$\frac{11}{14}$．
∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=$\frac{5\sqrt{3}}{14}×\frac{1}{7}$-（-$\frac{11}{14}$）×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的三角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．