【題目】已知函數(shù)的定義域是的一切實數(shù),對定義域內(nèi)的任意,都有且當(dāng)時,.

(1)求證:是偶函數(shù);

(2)求證:上是增函數(shù);

(3)試比較的大小.

【答案】1)證明見解析;(2)證明見解析;(3).

【解析】

1)根據(jù)題意和式子的特點,先令x1x21求出f1)=0,令x1x2=﹣1,求出f(﹣1)=0,再令x1=﹣1x2x求出f(﹣x)=fx),則證出此函數(shù)為偶函數(shù);

2)先任取x2x10,再代入所給的式子進行作差變形,利用x20,判斷符號并得出結(jié)論;

3)利用奇偶性與單調(diào)性比較大小即可.

解:(1)由題意知,對定義域內(nèi)的任意x1,x2都有fx1x2)=fx1+fx2),

x1x21,代入上式解得f1)=0

x1x2=﹣1,代入上式解得f(﹣1)=0,

x1=﹣1,x2x代入上式,∴f(﹣x)=f(﹣1x)=f(﹣1+fx)=fx),

fx)是偶函數(shù);

2)設(shè)x2x10,則

x2x10,∴,∴0

fx2)﹣fx1)>0,∴fx2)>fx1

fx)在(0+∞)上是增函數(shù);

3)∵fx)是偶函數(shù),,

fx)在(0,+∞)上是增函數(shù),且,

,

.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點,焦點在軸上,短軸長為,且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點,過右焦點軸不垂直的直線交橢圓于, 兩點.

Ⅰ)求橢圓的方程.

Ⅱ)當(dāng)直線的斜率為時,求的面積.

Ⅲ)在線段上是否存在點,使得經(jīng), 為領(lǐng)邊的平行四邊形是菱形?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)是定義域為的奇函數(shù).

(1)確定的值;

(2)若,函數(shù),,求的最小值;

(3)若,是否存在正整數(shù),使得恒成立?若存在,請求出所有的正整數(shù);若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知定義在上的奇函數(shù).

(Ⅰ) 的值;

(Ⅱ) 若存在,使不等式有解,求實數(shù)的取值范圍;

(Ⅲ)已知函數(shù)滿足,且規(guī)定,若對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(本小題滿分12)

已知函數(shù),.

)求的定義域;

)判斷的奇偶性并予以證明;

)當(dāng)時,求使的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其圖象最低點的縱坐標(biāo)是-,相鄰的兩個對稱中心是(,0)和(,0).:

(1)f(x)的解析式;

(2)f(x)的值域;

(3)f(x)圖象的對稱軸.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖是一個幾何體的平面展開圖,其中四邊形為正方形,,,為全等的等邊三角形,、分別為、的中點,在此幾何體中,下列結(jié)論中正確的個數(shù)有()

①平面平面

②直線與直線是異面直線

③直線與直線共面

④面與面的交線與平行

A. 3B. 2C. 1D. 0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某國際性會議紀念章的一特許專營店銷售紀念章,每枚進價為5元,同時每銷售一枚這種紀念章還需向該會議的組織委員會交特許經(jīng)營管理費2元,預(yù)計這種紀念章以每枚20元的價格銷售時,該店一年可銷售2000枚,經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),每枚紀念章的銷售價格在每枚20元的基礎(chǔ)上,每減少一元則增加銷售400枚,而每增加一元則減少銷售100枚,現(xiàn)設(shè)每枚紀念章的銷售價格為元(每枚的銷售價格應(yīng)為正整數(shù)).

1)寫出該特許專營店一年內(nèi)銷售這種紀念章所獲得的利潤(元)與每枚紀念章的銷售價格的函數(shù)關(guān)系式;

2)當(dāng)每枚紀念章銷售價格為多少元時,該特許專營店一年內(nèi)利潤(元)最大,并求出這個最大值;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,在正方體中,分別為的中點.

1)求證:平面;

2)求直線與面所成的角的余弦值.

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