Question

11．如圖所示的三個幾何體，一個是長方體，一個是直三棱柱，一個是過圓柱上、下底面圓心切下圓柱的四分之一部分，若這三個幾何體的正視圖和俯視圖是相同的正方形，求他們的表面積之比．

Answer 1

分析 利用三視圖判斷三個幾何體的結構特征，設出正方體的棱長，由此分別求出三個幾何體的表面積，即可得到比值．

解答 解：因為三個幾何體的正視圖和俯視圖為相同的正方形，所以原長方體棱長相等為正方體，
原直三棱柱是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，
設正方體的棱長為1，
則它的表面積為：6×1²=6，
三棱柱的表面積為：$\frac{1}{2}$×1²×2+1²×2+2×$\sqrt{2}$=3+2$\sqrt{2}$，
四分之一圓柱的表面積為：$\frac{1}{4}$π•1²×2+1²×2+$\frac{1}{4}$×2π•1×1=π+2，
所以它們的表面積之比為6：（3+2$\sqrt{2}$）：（π+2）．

點評 本題考查了空間幾何體三視圖的應用問題，也考查了幾何體表面積的計算問題，是基礎題目．