Question

6．已知AB、DE為圓O的直徑，CD⊥AB于N，N為OB的中點，EB與CD相交于點M，切線EF與DC的延長線交于點F．
（1）求證：EF=FM；
（2）若圓O的半徑為1，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）連接AE，證明A，E，M，N四點共圓，可得∠FME=∠EAB，EF是圓O的切線，可得∠FEB=∠EAB，∠EMF=∠FEB，即可證明EF=FM；
（2）若圓O的半徑為1，利用射影定理求EF的長．

解答 （1）證明：連接AE，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∵CD⊥AB，
∴A，E，M，N四點共圓，
∴∠FME=∠EAB，
∵EF是圓O的切線，
∴∠FEB=∠EAB，
∴∠EMF=∠FEB，
∴EF=FM；
（2）解：連接EC，
∵DE為圓O的直徑，
∴EC⊥CD，ON∥EC，ON=$\frac{1}{2}$EC，
∵圓O的半徑為1，N為OB的中點，
∴EC=1，CD=$\sqrt{3}$，
Rt△DEF中，EC²=FC•CD，∴FC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴EF²=FC•FD=$\frac{4}{3}$，∴EF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查圓的切線的性質(zhì)，射影定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．