Question

20．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E為PB的中點(diǎn)．
（1）證明：CE⊥AB；
（2）若AB=PA=2，求四棱錐P-ABCD的體積；
（3）若∠PDA=60°，求直線CE與平面PAB所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）作出圖形，取AB的中點(diǎn)F，并連接EF，CF，根據(jù)條件可以證明AB⊥平面EFC，從而可以得出CE⊥AB；
（2）根據(jù)條件可以求出梯形ABCD的面積，而PA是四棱錐P-ABCD的高，從而根據(jù)棱錐的體積公式可求出四棱錐P-ABCD的體積；
（3）容易說(shuō)明∠CEF為直線CE和平面PAB所成的角，由∠PDA便可得到$EF=\frac{\sqrt{3}}{2}AD$，而CF=AD，這樣在Rt△CEF中便可求出tan∠CEF，即求出直線CE與平面PAB所成角的正切值．

解答 解：（1）如圖，取AB的中點(diǎn)F，連接EF，CF，則：EF∥PA，CF∥AD；
PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD；
∴PA⊥AB；
∴EF⊥AB；
∵∠BAD=∠ADC=90°，∴AB⊥AD；
∴AB⊥CF，且EF∩CF=F；
∴AB⊥平面EFC，CE?平面EFC；
∴AB⊥CE，即CE⊥AB；
（2）由題意知，四邊形ABCD為梯形，${S}_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}（1+2）•2=3$；
∴${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•PA=\frac{1}{3}•3•2=2$；
（3）CF⊥AB，CF⊥PA；
∴CF⊥平面PAB；
∴∠CEF為CE與平面PAB所成的角；
∵∠PDA=60°，∴$PA=\sqrt{3}AD$；
∴$EF=\frac{\sqrt{3}}{2}AD$，CF=AD；
∴$tan∠CEF=\frac{CF}{EF}=\frac{AD}{\frac{\sqrt{3}}{2}AD}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
∴直線CE與平面PAB所成角的正切值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，以及線面角的概念及求法，正切函數(shù)的定義．