Question

設函數(shù)f（x）=log₂（x+1）+log₂（p-x），（p＞-1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）的最大值為0，求p的值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)的定義域及其求法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由題意得，

x+1＞0 p-x＞0

，從而求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）由f（x）=log₂（x+1）+log₂（p-x）=log₂（x+1）（p-x），結合二次函數(shù)的最值及復合函數(shù)的最值，當x=

p-1

2

時，f（x）有最大值，代入求p．

解答： 解：（1）由題意得，

x+1＞0 p-x＞0

，
解得，-1＜x＜p，
函數(shù)f（x）的定義域為（-1，p）；
（2）∵f（x）=log₂（x+1）+log₂（p-x）
=log₂（x+1）（p-x），
∴當x=

p-1

2

時，f（x）有最大值，
即f（

p-1

2

）=log₂（

p+1

2

）²=0，
故

p+1

2

=1，
故p=1．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的應用，屬于中檔題．