Question

數(shù)列{a_n}，{b_n}都是等比數(shù)列，當(dāng)n≤3時(shí)，b_n-a_n=n，若數(shù)列a_n唯一，則a₁=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)出等比數(shù)列{a_n}的公比，根據(jù)b_n-a_n=n得到數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)，由等比數(shù)列的性質(zhì)得到a1q2-4a1q+3a1-1=0，再由等比數(shù)列{a_n}唯一可得方程的判別式等于0，或判別式大于0時(shí)有一0根一非0根，由此求解a₁的值．

解答： 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則
當(dāng)n=1時(shí)，b₁-a₁=1，b₁=a₁+1，
當(dāng)n=2時(shí)，b₂-a₂=b₂-a₁q=2，b₂=a₁q+2，
當(dāng)n=3時(shí)，b₃-a₃=b3-a1q2=3，b3=a1q2+3，
∵{b_n}是等比數(shù)列，
∴b22=b1b3，即
(a1q+2)2=(a1+1)(a1q2+3)，
a1q2-4a1q+3a1-1=0，
∵數(shù)列a_n唯一，
∴若上式為完全平方式，
則△=b²-4ac=(-4a1)2-4a1(3a1-1)=4a12+4a1=0．
解得a₁=-1（舍去）或者a₁=0（舍去）．
或△＞0時(shí)，方程a1q2-4a1q+3a1-1=0有一0根和一非0根，
由根與系數(shù)關(guān)系得到3a₁-1=0，即a1=

1

3

．
當(dāng)△＞0并且兩根都不為零，但是若有一根可以使b_n中有項(xiàng)為0，與b_n為等比數(shù)列矛盾，
那么這樣的話關(guān)于a_n的方程雖然兩根都不為0，但使得b_n中有0項(xiàng)的那個(gè)根由于與題目矛盾所以必須舍去，
這樣a_n也是唯一的，由此求出a1=-

4

3

．
故答案為：

1

3

、-

4

3

．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了二次方程有兩相等實(shí)根的條件，是中檔題．