【題目】已知橢圓的離心率為
,若橢圓上的點與兩個焦點構(gòu)成的三角形中,面積最大為1.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線與橢圓的交于
兩點,
為坐標(biāo)原點,且
,證明:直線
與圓
相切.
【答案】(1)(2)證明見解析
【解析】
(1)由橢圓上點為短軸端點時所給三角形面積最大可得,結(jié)合離心率和橢圓
的關(guān)系,構(gòu)造方程組求得
,進而得到橢圓方程;
(2)①當(dāng)的斜率存在時,設(shè)
方程與橢圓方程聯(lián)立,得到韋達定理的形式;利用垂直關(guān)系可得向量數(shù)量積等于零,代入韋達定理的結(jié)論整理可得
;利用點到直線距離公式求得圓心到直線距離
,代入
可求得
;②當(dāng)
的斜率不存在時,可求得
方程,易知其與圓相切;綜合兩種情況可得結(jié)論.
(1)橢圓上的點與兩個焦點構(gòu)成的三角形中,面積最大時橢圓上的點為短軸端點
,又
,
橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)設(shè),
①當(dāng)的斜率存在時,設(shè)
由得:
則,
又
,即
滿足
到直線
的距離
又圓的半徑
直線
與圓
相切
②當(dāng)的斜率不存在時,
所在的兩條直線分別為
與橢圓方程聯(lián)立可求得交點橫坐標(biāo)為或
可得到所在的直線為:
或
直線
與圓
相切
綜上所述:當(dāng)時,直線
與圓
相切
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系平面上的一列點
,
,…,
,記為
,若由
構(gòu)成的數(shù)列
滿足
,
,其中
為與
軸正方向相同的單位向量,則稱
為
點列.
(1)判斷,
,
,…,
,是否為
點列,并說明理由;
(2)若為
點列.且點
在點
的右上方,(即
)任取其中連續(xù)三點
,
,
判斷
的形狀(銳角三角形,直角三角形,鈍角三角形),并給予證明;
(3)若為
點列,正整數(shù)
,滿足
.求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】檳榔原產(chǎn)于馬來西亞,中國主要分布在云南、海南及臺灣等熱帶地區(qū),在亞洲熱帶地區(qū)廣泛栽培.檳榔是重要的中藥材,在南方一些少數(shù)民族還有將果實作為一種咀嚼嗜好品,但其被世界衛(wèi)生組織國際癌癥研究機構(gòu)列為致癌物清單Ⅰ類致癌物.云南某民族中學(xué)為了解,
兩個少數(shù)民族班學(xué)生咀嚼檳榔的情況,分別從這兩個班中隨機抽取5名同學(xué)進行調(diào)查,將他們平均每周咀嚼檳榔的顆數(shù)作為樣本繪制成莖葉圖如圖所示(圖中的莖表示十位數(shù)字,葉表示個位數(shù)字).
(1)從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過19的數(shù)據(jù)記為
,從
班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過21的數(shù)據(jù)記為
,求
的概率;
(2)從所有咀嚼檳榔顆數(shù)在20顆以上(包含20顆)的同學(xué)中隨機抽取3人,求被抽到班同學(xué)人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的短軸端點為
,
,點
是橢圓
上的動點,且不與
,
重合,點
滿足
,
.
(Ⅰ)求動點的軌跡方程;
(Ⅱ)求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠有甲,乙兩個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,甲車間有工人人,乙車間有工人
人,為比較兩個車間工人的生產(chǎn)效率,采用分層抽樣的方法抽取工人,甲車間抽取的工人記作第一組,乙車間抽取的工人記作第二組,并對他們中每位工人生產(chǎn)完成的一件產(chǎn)品的事件(單位:
)進行統(tǒng)計,按照
進行分組,得到下列統(tǒng)計圖.
分別估算兩個車間工人中,生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間少于
的人數(shù);
分別估計兩個車間工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間的平均值,并推測車哪個車間工人的生產(chǎn)效率更高?
從第一組生產(chǎn)時間少于
的工人中隨機抽取
人,求抽取
人中,至少
人生產(chǎn)時間少于
的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】宋元時期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題:松長五尺,竹長兩尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而長等.如圖是源于其思想的一個程序框圖,若輸入,
,則輸出的
等于( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直四棱柱中,
,
:
(1)求證:平面
;
(2)現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱,規(guī)定:若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同,則視為同一種拼接方案,問共有幾種不同的拼接方案?在這些拼接成的新四棱柱中,記其中最小的表面積為
,寫出
的解析式;(直接寫出答案,不必說明理由)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線Γ的方程為y2=4x,點P的坐標(biāo)為(1,1).
(1)過點P,斜率為﹣1的直線l交拋物線Γ于U,V兩點,求線段UV的長;
(2)設(shè)Q是拋物線Γ上的動點,R是線段PQ上的一點,滿足2
,求動點R的軌跡方程;
(3)設(shè)AB,CD是拋物線Γ的兩條經(jīng)過點P的動弦,滿足AB⊥CD.點M,N分別是弦AB與CD的中點,是否存在一個定點T,使得M,N,T三點總是共線?若存在,求出點T的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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