Question

20．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，滿足①圖象過(guò)原點(diǎn)；②圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；③g（x）=f（x）+x²是奇函數(shù)，解答下列問(wèn)題：
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上值域；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，n使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域?yàn)閇3m，3n]，如果存在，請(qǐng)求出m，n，如不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由條件①②便可得到c=0，b=-2a，從而得到g（x）=（a+1）x²-2ax，根據(jù)g（x）為奇函數(shù)即可得出a=-1，從而求出f（x）=-x²+2x；
（2）配方得到f（x）=-（x-1）²+1，從而f（x）≤1，再比較f（0）和f（3），即可得出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的值域；
（3）二次函數(shù)在對(duì)稱軸的一邊具有單調(diào)性，從而該問(wèn)可轉(zhuǎn)化為判斷f（x）和y=3x是否存在兩個(gè)交點(diǎn)，并且交點(diǎn)在直線x=1的同側(cè)，這樣解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x}\\{y=3x}\end{array}\right.$求出交點(diǎn)即可．

解答 解：（1）根據(jù)條件①②得，c=0，$-\frac{2a}=1$；
∴f（x）=ax²-2ax，g（x）=（a+1）x²-2ax；
g（x）為奇函數(shù)；
∴g（-x）=（a+1）x²+2ax=-（a+1）x²+2ax；
∴a+1=-（a+1）；
∴a=-1；
∴f（x）=-x²+2x；
（2）f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1≤1；
又f（0）=0，f（3）=-3；
∴f（x）在[0，3]上的值域?yàn)閇-3，1]；
（3）根據(jù)題意判斷函數(shù)f（x）和函數(shù)y=3x是否在直線x=1的同側(cè)有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)y=f（x）；
∴解$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x}\\{y=3x}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.，或\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-3}\end{array}\right.$；
顯然點(diǎn)（0，0）和（-1，-3）在x=1的同側(cè)；
∴存在實(shí)數(shù)m，n，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域?yàn)閇3m，3n]，且m=-1，n=0．

點(diǎn)評(píng) 考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸，奇函數(shù)的定義，配方并比較端點(diǎn)值求二次函數(shù)值域的方法，將函數(shù)的定義域、值域的問(wèn)題，轉(zhuǎn)變成曲線交點(diǎn)的問(wèn)題，而曲線的交點(diǎn)又可通過(guò)解方程組得到．