Question

9．設(shè)f（x）=log₃x．
（1）若$g（x）=f（{\frac{x+1}{x-1}}）$，判斷并證明函數(shù)y=g（x）的奇偶性；
（2）令$h（x）=f（{\sqrt{x}}）•f（{3x}）$，x∈[3，27]，當(dāng)x取何值時h（x）取得最小值，最小值為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，先求出定義域，再根據(jù)奇偶性的定義即可判斷，
（2）先化簡h（x），再t=log₃x，3≤x≤27，則1≤t≤3根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：（1）$g（x）=f（{\frac{x+1}{x-1}}）={log_3}（{\frac{x+1}{x-1}}）$，
∴$g（x）={log_3}（{\frac{x+1}{x-1}}）$的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞），
$g（{-x}）={log_3}（{\frac{-x+1}{-x-1}}）={log_3}（{\frac{x-1}{x+1}}）$=${log_3}{（{\frac{x+1}{x-1}}）^{-1}}=-{log_3}（{\frac{x+1}{x-1}}）=-g（x）$
∴函數(shù)y=g（x）為奇函數(shù)．
（2）∵$h（x）={log_3}\sqrt{x}•{log_3}（{3x}）=\frac{1}{2}{log_3}x（{1+{{log}_3}x}）$，3≤x≤27
設(shè)t=log₃x，3≤x≤27，∴1≤t≤3
令$y=\frac{1}{2}t（{1+t}）$，1≤t≤3
當(dāng)t=1時，即x=3時，y_min=1
∴當(dāng)x=3時h（x）取得最小值，最小值為1．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的定義域和奇函數(shù)的定義，屬于中檔題