Question

3．已知集合A={x|log₄x＜-1}，B=$\{x|{2^x}≤\sqrt{2}\}$，命題p：?x∈A，2^x＜3^x；命題q：?x∈B，x³=1-x²，則下列命題中為真命題的是（　�。�

• A． p∧q
• B． ￢p∧q
• C． p∧￢q
• D． ￢p∧￢q

Answer 1

分析 求解對數(shù)不等式化簡集合A，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說明P正確，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）=x³+x²-1在x≤$\frac{1}{2}$時(shí)無零點(diǎn)，說明q錯(cuò)誤，由此可得答案．

解答 解：∵A={x|log₄x＜-1}={x|0＜x＜$\frac{1}{4}$}，
∴命題p：?x∈A，2^x＜3^x為真命題；
∵B=$\{x|{2^x}≤\sqrt{2}\}$={x|x≤$\frac{1}{2}$}，
令f（x）=x³+x²-1，f′（x）=3x²+2x，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{2}{3}$），（0，$\frac{1}{2}$）上為增函數(shù)，在（-$\frac{2}{3}$，0）上為減函數(shù)．
又f（-$\frac{2}{3}$）=-$\frac{23}{27}$＜0，f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{8}$＜0，
∴當(dāng)x≤$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）＜0，即命題q：?x∈R，x³=1-x²為假命題．
∴p∧￢q為真命題．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)零點(diǎn)的判定方法，屬中檔題．