Question

13．已知函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），如果對(duì)于任意的x∈[$\frac{1}{3}$，2]都有-1≤f（x）≤1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 利用分類(lèi)思想，函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{-lo{g}_{a}3≥-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{lo{g}_{a}2≥-1}\\{-lo{g}_{a}3≤1}\end{array}\right.$求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），
x∈[$\frac{1}{3}$，2]，
∴當(dāng)a＞1時(shí)，-log_a3≤log_ax≤log_a2，
∵-1≤f（x）≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{-lo{g}_{a}3≥-1}\end{array}\right.$，
即a≥3；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log_a2≤log_ax≤-log_a3，
∵-1≤f（x）≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{lo{g}_{a}2≥-1}\\{-lo{g}_{a}3≤1}\end{array}\right.$，
即0$＜a≤\frac{1}{3}$；
實(shí)數(shù)a的取值范圍：a≥3或0$＜a≤\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了不等式的恒成立問(wèn)題，函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題，關(guān)鍵是正確了，理解題意．