Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=

1

2

，且滿足2S_n+1=4S_n+1（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得數(shù)列{2S_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而S_n=

2n-1

2

，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答： 解：∵a₁=

1

2

，且滿足2S_n+1=4S_n+1（n∈N^*），
∴2S_n+1+1=4S_n+2，

2Sn+1+1

2Sn+1

=2，為定值．
2S₁+1=2a₁+1=2，
∴數(shù)列{2S_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
2S_n+1=2ⁿ，
S_n=

2n-1

2

，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

2n-1

2

-

2n-1-1

2

=2^n-2，
n=1時(shí)，a₁=2^1-2=

1

2

滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2^n-2．
故答案為：a_n=2^n-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．