Question

16．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα+sinα}\\{y=2\sqrt{3}sinαcosα-2si{n}^{2}α+2}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線N的極坐標(biāo)方程為ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（t為參數(shù)）．
（1）求曲線M的普通方程和曲線N的直角坐標(biāo)方程；
（2）若曲線N與曲線M有公共點(diǎn)，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由曲線M的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα+sinα}\\{y=2\sqrt{3}sinαcosα-2si{n}^{2}α+2}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系可得：可得x²-y=1．由曲線N的極坐標(biāo)方程為ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（t為參數(shù)），展開化為$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為普通方程，可得x，y的取值范圍．
（2）由（1）可得t的取值范圍，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=t}\\{{x}^{2}=y+1}\end{array}\right.$，化為x²+x-（t+1）=0，由于曲線N與曲線M有公共點(diǎn)，可得△≥0，解出進(jìn)而得出即可．

解答 解：（1）由曲線M的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα+sinα}\\{y=2\sqrt{3}sinαcosα-2si{n}^{2}α+2}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
可得x²-y=$si{n}^{2}α+2\sqrt{3}sinαcosα$+3cos²α-$（2\sqrt{3}sinαcosα-2si{n}^{2}α+2）$=1，
∴曲線M的普通方程為x²-y=1．
由曲線N的極坐標(biāo)方程為ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（t為參數(shù)），
展開化為$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，化為x+y=t（x∈[-2，2]）．
（2）由y=2$sin（2α+\frac{π}{6}）$+1∈[-1，3]．
x∈[-2，2]）．
∴t∈[-3，5]，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=t}\\{{x}^{2}=y+1}\end{array}\right.$，化為x²+x-（t+1）=0，
∵曲線N與曲線M有公共點(diǎn)，
∴△=1+4（t+1）≥0，
解得t≥$-\frac{5}{4}$．
∴t∈$[-\frac{5}{4}，5]$．
∴t的取值范圍是$[-\frac{5}{4}，5]$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程化為普通方程、直線與曲線的交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．