Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x²-a²x+$\frac{1}{2}$a（a≥0）．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值；
（2）若對任意x∈[0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）代入a值，配方，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值；
（2）二次函數(shù)配方，由題意可知，函數(shù)的對稱軸大于或等于零，則必須使函數(shù)的最小值大于零．

解答 解：（1）a=1，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x²-x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{3}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∴函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值為f（0）=$\frac{1}{2}$；
（2）f（x）=$\frac{1}{3}$x²-a²x+$\frac{1}{2}$a
=$\frac{1}{3}$（x-$\frac{3{a}^{2}}{3}$）²-$\frac{3{a}^{4}}{4}$$+\frac{1}{2}a$，若對任意x∈[0，+∞），有f（x）＞0恒成立，
∴-$\frac{3{a}^{4}}{4}$$+\frac{1}{2}a$＞0，
∴0≤a＜$\frac{\root{3}{18}}{3}$．

點評 考查了二次函數(shù)的單調(diào)性和利用單調(diào)性解決實際問題．