Question

8．設命題p：“存在x∈R，使x²+2ax+2-a=0”，命題q：“不等式ax²-ax+1＞0對?x∈R恒成立”．若p∧q為假，p∨q為真，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 對于命題p：可得△≥0，解得a范圍．對于命題q：a=0時，不等式化為：1＞0，滿足條件；a≠0時，可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$，解得a范圍．由p∧q為假，p∨q為真，可得：命題p和q一個為真，一個為假．

解答 解：對于命題p：“存在x∈R，使x²+2ax+2-a=0”，∴△=4a²-4（2-a）≥0，解得a≤-2，或a≥1．
對于命題q：“不等式ax²-ax+1＞0對?x∈R恒成立”，a=0時，不等式化為：1＞0，滿足條件；a≠0時，可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$，解得0＜a＜4．綜上可得：0≤a＜4．
∵p∧q為假，p∨q為真，
∴命題p和q一個為真，一個為假．
當p真q假時，$\left\{\begin{array}{l}{a≤-2或a≥1}\\{a＜0或a≥4}\end{array}\right.$，解得a≤-2或a≥4；
當p假q真時，$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜1}\\{0≤a＜4}\end{array}\right.$，解得0≤a＜1．
綜上所述：a的取值范圍是（-∞，-2]∪[0，1）∪[4，+∞）．

點評 本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．