Question

10．如圖，在正四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，O是AC與BD的交點(diǎn)，PO=1，M是PC的中點(diǎn)．
（1）設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{c}$，用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$表示向量$\overrightarrow{BM}$；
（2）在如圖的空間直角坐標(biāo)系中，求向量$\overrightarrow{BM}$的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用向量的三角形法則可得：$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，代入化簡(jiǎn)即可得出．
（2）由于$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow$=$\overrightarrow{AD}$=（0，1，0），$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$=（0，0，1），代入即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}）$
=$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AP}$-$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AP}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$．
（2）$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow$=$\overrightarrow{AD}$=（0，1，0），
∵O$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$，P$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，1）$．
∴$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$=（0，0，1），
∴$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$=$\frac{1}{2}$（0，1，0）+$\frac{1}{2}$（0，0，1）-$\frac{1}{2}$（1，0，0）
=$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的三角形法則、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．