Question

18．已知A（0，-1），B（t，3）．
命題p：直線AB與拋物線C：x²=$\frac{1}{2}$y沒(méi)有公共點(diǎn)；
命題q：直線BA與直線l：2x+y=4有公共點(diǎn)；
若命題“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，試求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 分別判斷出p，q的真假，通過(guò)討論p真q假，p假q真從而求出t的范圍即可．

解答 解：關(guān)于命題P：如圖示，
設(shè)過(guò)A的直線方程為y=kx-1，與拋物線方程聯(lián)立得x²-$\frac{1}{2}$kx+$\frac{1}{2}$=0，
△=$\frac{1}{4}$k²-2=0，k=±2$\sqrt{2}$，求得過(guò)A的拋物線的切線與y=3的交點(diǎn)為（±$\sqrt{2}$，3），
則當(dāng)過(guò)點(diǎn)A（0，-1）和點(diǎn)B（t，3）的直線與拋物線C沒(méi)有公共點(diǎn)，
∴p為真時(shí)：實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞），
關(guān)于命題q：直線BA與直線l：2x+y=4有公共點(diǎn)，
得：K_AB=$\frac{4}{t}$≠-2，解得：t≠-2，
故q為真時(shí)：t≠-2，
若命題“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，
則p，q一真一假，p真q假時(shí)：t∈（-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞），
p假q真時(shí)：無(wú)解，
綜上，t∈（-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．直線與圓錐曲線有無(wú)公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，此時(shí)要注意用好分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法．