Question

已知函數f（x）=e^x+ax-1（a∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若函數F（x）=xlnx-f（x）在定義域內存在零點，求a的最大值．
（Ⅲ）若g（x）=ln（e^x-1）-lnx，當x∈（0，+∞）時，不等式f（g（x））＜f（x）恒成立，求a的取隨范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,函數恒成立問題,函數零點的判定定理,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）對函數求導來得出函數的單調區(qū)間，這里注意對a的討論．
（Ⅱ）函數F（x）有零點，即定義域內存在x使F（x）=0，這樣便得到含有a的等式，為了求a的最大值，所以可能要整理成用x表示a的等式，也可說是把a求出來．即a=

1-ex

x

+lnx，所以求函數

1-ex

x

+lnx最大值即可．
（Ⅲ）要讓f（g（x））＜f（x）恒成立，應猜想函數f（x）在（0，+∞）單調遞增或遞減，而g（x）＜x，或g（x）＞x恒成立；所以下面要做的是看g（x）＜x，或g（x）＞x恒成立，然后再看f（x）在（0，+∞）上的單調性．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x+a所以，
（1）若a≥0，則f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增；
（2）若a＜0，令e^x+a=0，得x=ln（-a），當x＜ln（-a）時，f′（x）＜0；當x＞ln（-a）時，f′（x）＞0，所以：
f（x）在（-∞，ln（-a））上單調遞減，f（x）在（ln（-a），+∞）上單調遞增；
綜上得：當a≥0時，函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增；
當a＜0時，函數f（x）在（-∞，ln（-a））上單調遞減，在（ln（-a），+∞）單調遞增．
（Ⅱ）由題意知：在（0，+∞）上存在x使F（x）=xlnx-f（x）=xlnx-e^x-ax+1并得到a=

1-ex

x

+lnx；
所以函數

1-ex

x

+lnx的最大值，就是a的最大值，則令h（x）=

1-ex

x

+lnx，h′（x）=（1-x）（e^x-1）；
所以，x∈（0，1）上h′（x）＞0，x∈（1，+∞） h′（x）＜0，所以h（x）≤h（1）=1-e，即h（x）最大值是1-e，所以a的最大值是1-e．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，當a=-1時f（x）在（0，+∞）上單調遞增，且f（0）=0；
∴對x＞0時，有f（x）＞0，則e^x-1＞x；
故對任意x＞0，g（x）=ln（e^x-1）-lnx＞0；
所以，要證?x＞0，g（x）＜x；
只需證：?x＞0，ln（e^x-1）-lnx＜x；
即證：ln（e^x-1）＜lnx+lne^x；
即證：?x＞0xe^x＞e^x-1；
所以，只要證：?x＞0xe^x-e^x+1＞0；
令H（x）=xe^x-e^x+1，則H′（x）=xe^x＞0；
故函數H（x）在（0，+∞）上單調遞增；
∴H（x）＞H（0）=0；
∴對?x＞0，xe^x-e^x+1＞0成立，即g（x）＜x；
（1）當a≥0時，由（Ⅰ）f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
則f（g（x））＜f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（2）當a＜0時，由（Ⅰ）知f（x）在（ln（-a），+∞）上單調遞增，要使f（x）在（0，+∞）上單調遞增，須ln（-a）≤0，得-1≤a＜0；
故a的取值范圍是[-1，+∞）．

點評：第一問求單調區(qū)間，應用導數法求，注意對a討論．第二問，注意把求a的最大值，轉變成求函數的最大值，并且用求導判斷單調性的辦法．第三問，看到恒成立的不等式，去猜想g（x）＜x，或g（x）＞x恒成立，然后根據函數的單調性求a的范圍即可．