Question

已知拋物線y²=-x與直線y=k（x+1）交于兩點(diǎn)A，B．
（1）若△OAB的面積為

10

，求k的值；    
（2）已知O為原點(diǎn)，證明OA⊥OB．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）拋物線y²=-x與直線y=k（x+1）聯(lián)立可得y²+

y

k

-1=0，利用韋達(dá)定理，根據(jù)△OAB的面積為

10

，即可求k的值；    
（2）證明x₁x₂+y₁y₂=0，即可證明OA⊥OB．

解答： （1）解：拋物線y²=-x與直線y=k（x+1）聯(lián)立可得y²+

y

k

-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=-

1

k

，y₁y₂=-1，
∴|y₁-y₂|=

1 k2 +4

，
∵△OAB的面積為

10

，
∴

1

2

•1•

1 k2 +4

=

10

，
∴k=±

1

6

；
（2）證明：∵x₁x₂=（y₁y₂）²=1，y₁y₂=-1，
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴OA⊥OB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．