Question

14．已知點(diǎn)A（3，2），點(diǎn)M到F（$\frac{1}{2}$，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大$\frac{1}{2}$．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）是否存在M，使|MA|+|MF|取得最小值？若存在，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出M坐標(biāo)（x，y），當(dāng)x≥0時(shí)由題意列出滿足條件的等式，化簡(jiǎn)后得到M的軌跡方程；再由題意得到x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)也滿足條件．兩種情況結(jié)合一起得到點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）把|MF|+|MA|轉(zhuǎn)化為|MA|+|PM|，利用當(dāng)P、A、M三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|+|PM|取得最小值，把y=2代入拋物線y²=2x 解得x值，即得M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），則|MF|=$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}}$，
當(dāng)x≥0時(shí)，M到y(tǒng)軸的距離為x．
由M到點(diǎn)F（$\frac{1}{2}$，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大$\frac{1}{2}$，得$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}}$=x+$\frac{1}{2}$．
兩邊平方并整理得：y²=2x；
當(dāng)x＜0時(shí)，由題意可得M的軌跡為y=0（x＜0），此時(shí)符合題意．
綜上，點(diǎn)M的軌跡方程為y²=2x或y=0（x＜0）．
（2）設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d=|PM|，則由拋物線的定義得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，
故當(dāng)P、A、M三點(diǎn)共線時(shí)，|MF|+|MA|取得最小值為|AP|=3-（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{2}$．
把 y=2代入拋物線y²=2x 得 x=2，故點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求法，考查拋物線的定義和性質(zhì)應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是不要漏掉x軸負(fù)半軸，利用拋物線定義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是中檔題．