17.如圖:已知△ABC中,∠BAD=∠C,AB=4,BD=2,$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{m}$.
(1)試用$\overrightarrow{m}$表示$\overrightarrow{DC}$;
(2)過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E.若S△ABD=3,求S△CDE

分析 (1)由已知得△ABD∽△CBA,從而得到CD=6,由此能用$\overrightarrow{m}$表示$\overrightarrow{DC}$.
(2)由S△ABD=3,解得sin∠ABD=$\frac{3}{4}$,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E,則sin∠EDC=sin∠ABD=$\frac{3}{4}$,DE=$\frac{AB×CD}{BC}$=3,由此能求出S△CDE

解答 解:(1)在△ABD和△CBA中,
∠B=∠B,∠BAD=∠C,
∴△ABD∽△CBA,
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{AB}$,
∵AB=4,BD=2,∴$\frac{4}{2}=\frac{2+CD}{4}$,解得CD=6,
∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{m}$,∴$\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{m}$.
(2)∵S△ABD=3,∴$\frac{1}{2}×AB×BD$×sin∠ABD=$\frac{1}{2}×4×2×sin∠ABD$=3,
解得sin∠ABD=$\frac{3}{4}$,
過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E,則sin∠EDC=sin∠ABD=$\frac{3}{4}$,
$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{BC}$,∴DE=$\frac{AB×CD}{BC}$=$\frac{4×6}{8}$=3,
∴S△CDE=$\frac{1}{2}×DE×DC×sin∠EDC$=$\frac{1}{2}×3×6×\frac{3}{4}$=$\frac{27}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段的向量表示,考查三角形面積的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意三角形面積公式的合理運(yùn)用.

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