Question

14．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x．
（Ⅰ）若將函數f（x）的圖象向下平移$\frac{1}{3}$個單位長度得函數h（x）的圖象，求函數h（x）的圖象在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若函數g（x）=f（x）-x²-x+m在[-2，4]上有零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）根據導數的幾何意義可知f′（1）為切線的斜率，再求出切點坐標即可得出切線方程；
（II）判斷g（x）在[-2，4]上的單調性得出g（x）在[-2，4]上的最值，令$\left\{\begin{array}{l}{{g}_{max}（x）≥0}\\{{g}_{min}（x）≤0}\end{array}\right.$即可求出m的范圍．

解答 解：（I）h（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-2x-$\frac{1}{3}$，
∴h′（x）=x²-2，
∴切線的斜率k=h′（1）=-1，又h（1）=-2，
∴h（x）的圖象在x=1處的切線方程為y+2=-（x-1），即x+y+1=0．
（II）g（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-x²-3x+m，∴g′（x）=x²-2x-3，
令g′（x）=0得x²-2x-3=0，解得x=-1或x=3．
∴當x＜-1或x＞3時，g′（x）＞0，當-1＜x＜3時，g′（x）＜0．
∴g（x）在[-2，-1]上為增函數，在[-1，3]上為減函數，在[3，4]上為增函數．
∵g（-2）=-$\frac{2}{3}+m$，g（-1）=$\frac{5}{3}$+m，g（3）=-9+m，g（4）=-$\frac{20}{3}$+m，
∴g（x）在[-2，4]上的最大值為為$\frac{5}{3}+m$，最小值為-9+m，
∵函數g（x）在[-2，4]上有零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{3}+m≥0}\\{-9+m≤0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{5}{3}$≤m≤9．

點評 本題考查了導數的幾何意義，函數的單調性與最值，屬于中檔題．