Question

16．已知2${\;}^{{x}^{2}-4x+4}$≤（$\frac{1}{4}$）^x-2，求函數(shù)f（x）=4${\;}^{x-\frac{1}{2}}$-3•2^x+5的最大值和最小值．

Answer 1

分析 解已知的指數(shù)不等式求得x的范圍，令t=2^x，可得t的范圍，g（t）=$\frac{1}{2}$•t²-3t+5，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得該函數(shù)的最值．

解答 解：2${\;}^{{x}^{2}-4x+4}$≤（$\frac{1}{4}$）^x-2，
即2${\;}^{{x}^{2}-4x+4}$≤2^4-2x，
∴x²-4x+4≤4-2x，
即 x（x-2）≤0，
解得 0≤x≤2．
令t=2^x，則t∈[1，4]，函數(shù)f（x）=4${\;}^{x-\frac{1}{2}}$-3•2^x+5=g（t）=$\frac{1}{2}$•t²-3t+5=$\frac{1}{2}$•（t-3）²+$\frac{1}{2}$，
故當(dāng)t=3時(shí)，函數(shù)取得最小值為$\frac{1}{2}$；
當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)取得最大值為$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查指數(shù)不等式的解法，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．