Question

5．已知在空間四邊形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求證：OC⊥AB．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中在空間四邊形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，利用向垂直的充要條件，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BC}$=0，且$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，結(jié)合向量減法的三角形法則，可得$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{BA}$=0，即OC⊥AB．

解答 證明：∵在空間四邊形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BC}$=0，且$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
即$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$）=0，且$\overrightarrow{OB}$•（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）=0，
即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，且$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OA}$=0，
兩式相減得：$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OC}$•（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$）=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{BA}$=0，
即OC⊥AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量垂直的充要條件、向量的運(yùn)算法則、向量的運(yùn)算律利用想向量垂直判斷線垂直．