Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足：|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=4，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4$\sqrt{3}$．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角；
（2）求|$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量的夾角公式cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$，計(jì)算即可得到所求夾角；
（2）運(yùn)用向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）由|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=4，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4$\sqrt{3}$，
可得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{4\sqrt{3}}{2×4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞∈[0，π]，
可得向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{6}$；
（2）|$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=3$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²+2$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$
=3×4+16+2$\sqrt{3}$×4$\sqrt{3}$=52，
則|$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評 本題考查向量的夾角的求法，注意運(yùn)用向量的夾角公式，考查向量的模的求法，注意運(yùn)用向量的數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，屬于基礎(chǔ)題．