Question

12．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（2）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，有xf′（x）-f（x）＜0恒成立，則不等式$\frac{f（x）}{x}$＞0 的解集為（　　）

• A． （-2，0）∪（2，+∞）
• B． （-2，0）∪（0，2）
• C． （-∞，-2）∪（0，2）
• D． （-∞，-2）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)求得$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上為減函數(shù)，它在（-∞，0）上也是減函數(shù)，且f（-2）=0，再由不等式$\frac{f（x）}{x}$＞0可得x的范圍．

解答 解：由于當(dāng)x＞0時(shí)，有xf′（x）-f（x）＜0恒成立，故[$\frac{f（x）}{x}$]′=$\frac{x•f′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0，
故$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上為減函數(shù)．
根據(jù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（2）=0，可得它在（-∞，0）上是減函數(shù)，且f（-2）=0，
故由不等式$\frac{f（x）}{x}$＞0可得x＜-2，或0＜x＜2，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．