Question

2．已知函數f（x）=2sin（ωx），其中常數ω＞0．
（1）若y=f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]上單調遞增，求ω的取值范圍；
（2）令ω=2，將函數y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，再向上平移1個單位，得到函數y=g（x）的圖象．
①求函數g（x）的解析式，并用“五點法”作出該函數在一個周期內的圖象；
②對任意a∈R，求函數y=g（x）在區(qū)間[a，a+10π]上零點個數的所有可能值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函數的單調性可得ω•$\frac{2π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，由此求得ω的取值范圍．
（2）根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再用五點法作函數y=Asin（ωx+φ）在一個周期上的圖象，三角函數的零點個數判斷．

解答 解：（1）∵在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]上，函數f（x）=2sin（ωx）單調遞增，∴ω•$\frac{2π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，
求得ω≤$\frac{3}{4}$，∴ω的取值范圍為（0，$\frac{3}{4}$]．
（2）①令ω=2，將函數y=f（x）=2sin2x 的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，可得y=2sin2（x+$\frac{π}{6}$） 的圖象，
再向上平移1個單位，得到函數y=g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1的圖象．
即函數g（x）的解析式為 g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1．
列表：

2x+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
g（x）	1	3	1	-1	1

作圖：

并用“五點法”作出該函數在一個周期內的圖象．
②對任意a∈R，由于函數y=g（x）的周期為π，g（x）在區(qū)間[a，a+10π]上，共有10個周期，
故函數g（x）的零點最多有21個零點，最少有19個零點．
零點個數的所有可能值為21、20、19．

點評 本題主要考查正弦函數的單調性和零點，用五點法作函數y=Asin（ωx+φ）在一個周期上的圖象，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎題．